Im letzten Video haben wir ein sehr nützliches Resultat kennengelernt, das es uns erlaubt,

die unbekannte Lösung eines allgemeinen, nicht notwendigerweise linearen,

Differentialgleichungssystems anzugeben, explizit als eine Lösung, die nur von der

Linearisierung um eine Ruhelage und einem Federterm abhängt. Wir haben aber auch schon

hier in rot unterstrichen gesehen, dass das ganze uns nicht weiterhilft, da wir die Lösung nicht

explizit angeben können. Die hängt wiederum von der unbekannten Lösung ab. Aber wie ich angekündigt

habe, gibt es ein sehr nützliches Werkzeug, mit dem wir uns in diesem Video beschäftigen wollen,

nämlich die sogenannte Gronwall-Ungleichung. Wir werden sie in diesem Video in einer sehr

speziellen, vereinfachten Form nutzen. Die allgemeine Form, wie sie bewiesen wurde,

ist wesentlich komplizierter und allgemeiner, aber wir werden uns hier auf ein Spezialfall

konzentrieren. Das heißt, wir werden uns jetzt hier mit dem Lämmer der Gronwall-Ungleichung beschäftigen.

Gronwall-Ungleichung. Gut, formulieren wir erstmal das Lämmer und dann wollen wir sehen,

was es uns hilft, denn damit werden wir uns in der nächsten Vorlesung beschäftigen. Wir

brauchen erstmal zwei stetige Funktionen. Für zwei stetige Funktionen, die nennen wir f und g.

Und wie gesagt, die sollen stetig sein und zwar sagen wir jetzt auf einem Intervall t0 bis t1 mit

positiven Werten oder nicht negativen Werten. Für die gelte für eine Konstante, die auch nicht negativ

sein muss, für eine Konstante, die nennen wir a. Das ist jetzt hier eine Spezialisierung der allgemeinen

Gronwall-Ungleichung. Das kann im Allgemeinen auch eine Funktion sein, aber wir nehmen jetzt mal an,

das ist eine Konstante. Das reicht uns vollkommen. Für diese Funktion gelte die folgende Ungleichung.

Und zwar haben wir eine Abschätzung der Art, die Funktion f und t lässt sich nach oben abschätzen

durch diese Konstante a plus so einem Integral von t0 bis t über das Produkt der beiden stetigen

Funktionen f von s mal g von s ds. Und das soll gelten für alle t aus diesem Intervall, in dem

die Funktionen stetig sind. Also t0 bis t1. Die Ungleichung solle gelten und da sieht man auch

schon wieder ein bisschen, wir haben links was stehen, was wir durch etwas auf der rechten

Seite abschätzen wollen. Das erinnert uns an die Situation in dem letzten Video, das wir ganz zum

Ende hatten. Das heißt, das können wir dann bald übertragen. Und sagt dieses Lämmer, wenn diese

Ungleichung gilt, dann lässt sich der Wert der Funktion nur durch die Funktion g wie folgt

abschätzen. Das wird dann der Trick sein. Dann lässt sich der Wert der Funktion f durch die Funktion g

wie folgt abschätzen. Das ist jetzt dies altbekannte Münchhausens Methode, sich selbst an den

Haaren aus dem Sumpf ziehen. Denn man hat eigentlich nur eine Abschätzung von f gegen

sich selber mit einer anderen Funktion. Aber wir schaffen es, dass wir jetzt f nach oben abschätzen

können, nur durch die Funktion g. Und damit haben wir es geschafft, f rauszubekommen aus dem Sumpf

dieses Integrals sozusagen. Und die spannende Abschätzung, die sogenannte Cronwall-Ungleichung

sagt, dann ist das f von t nach oben beschränkt durch die Konstante a multipliziert mit der

Exponentialfunktion der gewöhnlichen. Ich schreibe sie jetzt mal in dieser Form, exp von dem Integral

von t0 bis t über. Und das ist jetzt das Schöne, nur noch die Funktion g von s ds. Und das gilt

für alle t aus diesem Intervall t0 t1. Das heißt, das wäre genau das Resultat, was wir gerne hätten.

Denn wenn wir es schaffen können, unsere unbekannte Lösung nach rechts abzuschätzen

im Resultat der letzten Vorlesung, dann können wir sagen, okay, wir können sie dann ganz einfach

angeben, nur durch das Matrix-Exponential der Linearisierung und können sozusagen den Resttherm,

der dort steht, wieder gewinnen. Also wollen wir jetzt erstmal diese Cronwall-Ungleichung

versuchen zu beweisen. Die wird uns dann in der nächsten Vorlesung sehr hilfreich sein.

Was wir zuerst machen, ist erstmal eine Hilfsfunktion definieren. Also wir definieren

folgende Hilfsfunktion. Und zwar wollen wir die h nennen und wir nehmen einfach die rechte

Seite dieser Ungleichung, also diesen Teil. Das soll unsere Hilfsfunktion h sein. Und wir sagen

h von t sei damit definiert als die Konstante a plus dem Integral t0 bis t f von s mal g von s ds.

Ja und dadurch, dass wir das so gewählt haben und die Voraussetzung gilt, dass f von t kleiner

ist als die rechte Seite, wissen wir schon mal, dass f von t kleiner h von t sein muss.

Daher gilt nach Voraussetzung folgendes, nämlich f von t kleiner gleich h von t und zwar für alle

t aus dem Intervall t0 bis t1. Das müssen wir annehmen. Das ist die Voraussetzung des Glamors